Matematikai logika

Azokat az állításokat, amelyekről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igazak, vagy hamisak, logikai állításoknak nevezzük.
Ilyen például:

  • Ma kedd van.
  • A mai menzai ebéd gyros-tál.
  • Tavaly informatikából ötösöm volt.

Logikai állításokon értelmezett műveletek (operátorok)

Azokat a logikai állításokat, amelyek a művelet résztvevői, operandusoknak nevezzük.
Például: Süt a nap ÉS jó a kedvem :
Az operátor az ÉS
az operandusok: Süt a nap; Jó a kedvem.
(Excelben: SZUM(A2;10) => operátor: SZUM, operandusok A2 és 10)

Logikai változóknak azokat a változókat nevezzük, melyek csak IGAZ vagy HAMIS értéket vehetnek fel.

ÉS

ÉS (AND) – Logikai állításokon értelmezett ÉS művelet csak akkor igaz, ha minden operandusa igaz. Jele a • vagy a ∧ .
Példa: János bácsi a kertben van, és kapál. Ez a kifejezés csak akkor igaz, ha János bácsi a kertbe van (és nem máshol), és egyidejűleg kapál. Nem igaz, ha János bácsi  a szobában kapál, vagy a kertben gereblyézik, de akkor sem, ha a szobában gereblyézik.
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.

A B A•B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

VAGY

VAGY (OR) – Logikai állításokon értelmezett VAGY művelet csak akkor HAMIS, ha minden operandusa HAMIS. Jele a + vagy a ∨ .
Példa: A fagyizóban ma vanília vagy kávé fagyit eszem. Ez a kifejezés csak akkor hamis, ha sem vanília, sem kávé fagyit nem eszem. Igaz, ha csak vaníliát, igaz, ha csak kávét, és akkor is igaz, ha mindkettőt eszem. (Mert a pisztácia kifogyott, és csokoládé nem is volt…)
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.

A B A+B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

KIZÁRÓ VAGY

KIZÁRÓ VAGY (eXclusive OR) – Logikai állításokon értelmezett KIZÁRÓ VAGY művelet csak akkor IGAZ, ha pontosan egy operandusa IGAZ. Jele a ⊕ vagy a XOR.
Példa: Ma este moziba, vagy színházba megyek. Ez a kifejezés csak akkor igaz, ha moziba megyek, de színházba nem, vagy színházba megyek, de moziba nem, és hamis, ha mindkét helyre, vagy egyikre sem megyek el).
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.

A B A⊕B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

NEGÁCIÓ

Negáció (tagadás-NEM) – Logikai állítás negáltja csak akkor IGAZ, ha az operandusa HAMIS. Jele a ¬ vagy a felülvonás: A
Példa: Ma NEM felelek informatikából. Ez a kifejezés csak akkor igaz, ha felelek informatikából kifejezés HAMIS. (Persze, mert dolgozatot írok :)).
Igazságtábla: legyen A logikai állítás. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.

A ¬A
1 0
0 1

IMPLIKÁCIÓ

IMPLIKÁCIÓ (Következmény) – A és B logikai állítások. A implikálja B-t (A-ból következik B), csak akkor hamis, ha A HAMIS, de B IGAZ. Jele a → vagy a ⇒ .
Példa: Ha ötös lesz utolsó TZ-m, akkor ötös leszek infóból. Ez a kifejezés csak akkor hamis, ha az utolsó TZ-d ötös lett, mégsem lettél ötös infóból. Igaz, minden más esetben.
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.

A B A→B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

EKVIVALENCIA

EKVIVALENCIA (Azonosság) – A és B logikai állítások. A ekvivalens B-vel, ha A implikálja B-t ÉS B implikálja A-t. Jele a ↔ vagy a ≡ .
Példa: Akkor, és csak akkor vagy telekis diák, ha a jogviszonyod a Teleki Blanka Gimnáziumban van.
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.

A B A→B B→A A↔B
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1

Vedd észre, hogy az ekvivalencia művelet csak akkor adott igaz értéket, ha a két állítás ugyanazt az értéket vette fel.

Műveletek logikai állításokkal >>>